ガチャポン・食玩の確率論

　みなさん、ガチャポンや食玩で、「どうしても最後の１個が手に入らない！」とか「どうして同じものばかり出るんだ!?」と、イライラした経験はありませんか？
　僕はしょっちゅうあります。必要のないセバスチャンやブラックサレナを、いったい何個出したことやら。ビルガモが４個続けて出た時には、運命の無情を覚えたものです(^^;)。最近では、昴もブラックローズも出ないのにバルムンクさんが５個もたまってしまったことがありました。
　もちろん、たまにストレートにコンプリートすることはあります。ごくごくたまにですが……先日もバンダイの『ウルトラマン　イマジネーション』を、３００円で４回、計１２００円できっちり４種類出しました。
　４種類のガチャポンをダブらずにコンプリートできる確率はどれぐらいでしょうか？
　最初の１個は何が出てもいいのですから、確率は１です。２個目は最初のとダブってはいけないので確率は３／４。３個目とは最初の２個とダブってはいけないので２／４……最後の１個を出す確率は当然１／４ですから、

　１×３／４×２／４×１／４　＝　9.4％

　およそ11回に１回ということになります。
　同様に５種類のガチャポンを５回で出す確率は、

　１×４／５×３／５×２／５×１／５　＝　3.8％

　26回に１回ということになります。
　６種類のガチャポンを６回で出す確率は、

　１×５／６×４／６×３／６×２／６×１／６　＝　1.5％

　およそ65回に１回です。まさに、ラッキーと言えるでしょう。
　実際にはこんなラッキーはめったに起きません。６種類を手に入れるためには、７回以上ガチャポンをまわすことを覚悟しなければならないのです。

本当に偏っているのか？
　自分が狙っているものがなかなか出ないと、「アソートが偏っている」とか「店員が抜いているに違いない」と言う人がいます。
　本当にそうでしょうか？　店の人やメーカーを疑う前に、ちょっと考えてみましょう。
　それは「均等」と「ランダム」は違う、ということです。
　当たり前のことのはずなのに、これを理解していない人が多い。百聞は一見にしかず。「ランダム」とはどういうことなのか、ちょっとシミュレーションをしてみましょう。
　シミュレーションに用いたのは、１−Ａから10−Ｆまで、６種類各10枚、計60枚のコマです（ちなみに『アクワイア』というボードゲームのコマを使いました）。これを裏返しにしてよくシャッフルし、目を閉じて１枚ずつ引いていきます。それを５回繰り返しました。
　下がその結果です。分かりやすくするため、Ａだけ赤くしてみました。

　ご覧の通り、Ａがぜんぜん均等に分布していません。特に２段目を見ると、21回もＡが出なかったあと、続けて３個も出ています。３段目では、最初の９回のうち、Ａが６個、Ｂが３個出ています。６回のうち１個だけＡが出ることは少なく、まったく出ないか２個以上出る場合の方が多いのです。
「偏っている」と思われますか？
　そうではありません。これが「ランダム」なのです。ランダムであるということは均等であることを意味しないのです。最終的にＡ〜Ｆはすべて同じ数だけ出ますが、少ない試行回数で均等に出ることはめったにないのです。

　これをガチャポンだと考えてみましょう。１段目から出しはじめた人は、コンプリートするのに16個も出さなくてはなりません。２段目なら22個です。「偏ってる！」と思いたくもなるでしょう。
　それに対し、４段目なら９個でコンプリートできることになります。ラッキーですね。

あの１個がなかなか出ない
　視点を変えてみましょう。
　あなたが６種類のガチャポンのうち１種類をどうしても欲しいと狙っているとしましょう。１回だけまわして、目的のものが出ない確率は５／６です。２回ならば５／６の２乗、３回ならば５／６の３乗……というように、繰り返すほどに出ない確率は下がってゆきます。つまり出る確率は上がります。
　これを表にしてみると、

　ご覧のとおり、約半数（51.8％）の人は、４回目までに狙ったものが出ます。
　その一方、およそ10人に１人は、13回まわしても狙ったものが出ません。また、100人に１人は、不幸なことに、25回まわしても出ないのです。
　その「１人」があなたではないという保証はどこにもありません。
「狙ったものが出るまでまわし続ける」という行為が、大きなリスクをはらんでいることがお分かりでしょう。「もう一回だけ」「今度こそ」とむきにならず、適当なところであきらめて切り上げないと、出費がかさむばかりです。

コンプリートするのにいくらかかる？
　６種類のガチャポンをコンプリートするのにどれぐらいお金がかかるかを計算してみましょう。平均的な２００円のガチャポンで考えてみます。

　なんとまあ、平均して15回、約３０００円の出費を覚悟しなくてはならないのです。ストレートにコンプリートすれば１２００円で済むのに。
　ちょっとご注意。ここに示したのはあくまで期待値です。実際には３０００円もつぎこまずにコンプリートできる場合もありますし、３０００円以上かかってしまうこともあります。
　特に「最後のひとつ」がくせものです。最後の１種類を出すのに平均して６回、１２００円も注ぎこまなくてはいけません。
　ということは、無理して６種類目を出そうとするのは愚かです。ここまでにあなたは、すでに平均１７４０円も使っているはずです。残りの１種類はマニアショップで買うことをおすすめします。ショップでは１個２００円以上、時として５００円とか７００円とかいう値がついていますが、それでも１２００円より安いなら、あなたにとっては安い買い物なのです。

　これをお読みのショップの店員さんへ。
「１２００円以下なら安いのか。じゃあもっと高くしていいんだ」
　と勘違いしないでください。これはその商品が、お客さんにとって「最後のひとつ」だった場合の価値にすぎません。それをすでに持っている人にとっては、価値はゼロなのですから。
　僕としては、「200円のガチャポンのショップ価格は、レアでないかぎり490円が上限」と考えています。なぜなら、１個あたり490円以下なら、バラで６個購入しても合計金額は2940円以下になり、ガチャポンをまわすより有利になるからです。
　それに買う側の感覚として、200円で手に入るものに、その何倍もの額は出したくないですしね。

戦略は人それぞれ
　では、最後の１種類になったら必ずショップに買いに行った方がいいのでしょうか？　そんなことはありません。それはあなたがここまでにどれだけ注ぎこんだかによります。
　たとえば１０００円を使って５回まわしたら、運良くダブらずに５種類揃ったとしましょう（こうしたことが起きる確率は9.3％です）。この場合、あと４回まわしてみることをおすすめします。なぜか？　あと４回まわす間に６種類目が出る確率は52％（１−5/6の４乗）で、半々よりやや有利です。たとえ出なくても、ここまでに投資した額は1800円で、５種類を手に入れるための期待値（1740円）とほぼ同じです。つまり、あなたはまだ60円しか損をしていないのです。
　とりあえず、出費を期待値以下に抑える方法を考えてみましょう。いろいろな考え方がありますが、僕が提案するのはこういう方法です。

　まず、５種類揃うまでまわします。
　５種類目が出た時点で、まわした回数が９回未満なら、９回になるまでさらにまわします。９回まわして６種類目が出なかったなら、ショップに買いに行きます。６種類目が1140円（＝2940円−これまでの出費）以下であったなら購入します。
　すでに９回以上まわしているなら、すでにあなたの投資額は期待値を上回っているので、そこでやめます。やはり（2940円−これまでの出費）以下の額で、６種類目をショップで購入します。
　ただし、運が悪いと、５種類を出すまでに3000円以上を使ってしまうこともありえます。５種類目と６種類目がそれぞれ４００円ぐらいでショップで売られていると仮定すると、手元には800円ぐらい残しておきたい。とすると、５種類目が出なくても11回（投資額2200円）でやめるべきでしょう。

　もちろんこれはひとつの戦略にすぎません。他にもいろいろな考え方があります。

●「わざわざガチャポンを回さなくても、ショップに出回るのを待ってセットで買えばいいじゃないか」
　ごもっとも。ショップでは６種類セットで1200円とか1500円とかいう値段で売っていることがよくあります。純粋に投資額だけ考えれば、それを買うのがいちばん安上がりなんですよね。
　でも、人より早く手に入れたいのが人情ですし、何よりもガチャポンはまわすのが楽しいんですから。やはりショップで買うのは最後の手段にしたいですね、個人的には。

●「４種類まで揃った時点でショップに行くのが得策である」
　これも一理ある考え方です。なぜなら、５種類目を入手するための期待値は３、つまり600円必要ですが、ショップでならまず600円以下で買えるはずだからです。
　しかし、これもやはり、「早く手に入れたい」という人情を考えると、必ずしも最適の選択とは言い難い。できるならばガチャポンだけでコンプリートしたいですからね。

●「いくらダブってもいい。ダブった分はショップに売りに行けばいいんだから」
　こういう考え方もあります。たとえば６種類コンプリートするまでに15個出したとして、ダブった９個を売った場合、１個あたり100円で引き取ってもらえるとしたら、あなたの出資額は3000−900=2100円で済むわけです。

　結局、あなたが「安さ」と「早さ」のどちらを重視するか、という問題になってきます。あなたが金に糸目をつけない性格なら、期待値なんて気にせずに、じゃんじゃんコインを投入し、強引にコンプリートすればよろしい。手に入れるのが遅くなってもいい、余分な金は一銭も払いたくないという性格なら、最初からガチャポンは無視して、ショップでセットを購入するのが正しい選択です。

食玩は振ってみよう

(2005年１月18日：Ｒｉｏさんより計算が間違っているという指摘がありましたので、以下は全面的に改稿しました)

　食玩の場合も、１シリーズ６種類のもの（コナミの「ＳＦムービーセレクション」とか）については、確率は同様に考えてかまいません（レアやシークレットについては、面倒なのでここでは考慮に入れません）。
　ただし、ガチャポンと違う要素が２つあります。
　第１に、ガチャポンはその場でカプセルを開けて、ハズレだったらまた回す……ということができますが、食玩は買ったその場で箱を開けて中身を確認するという人はあまりいないでしょう。どうしてもまとめ買いになってしまいます。
　第２に、食玩は箱を振ってみることで、音や重さから、ある程度まで中身の見当がつけられます（いわゆる「サーチ」）。つまりダブる確率がガチャポンより小さいのです。
　仮に、ある箱を振ってみて、前の箱のどれかと同じ音であることを当てられる確率が１／２だとしましょう。ただし、ダブっていない場合は正しく判定されるとします。その場合、２個目が１個目とダブらない確率は、

　１個目とダブっていると判断されれば（赤字の部分）棚に戻されます。買うことを決めた２個目の箱が１個目とダブらない確率は、青で示された数字の分子の合計を分母として、10／11ということになります。
　ダブっていないのにダブっていると誤って判定される場合もあるかもしれません。この確率も１／２として計算してみると、

　この場合、ダブらない確率は５／６で、デタラメに買った場合と差がありません。効率よく買うには、ダブっていないのにダブっていると判定する確率を可能な限り低く抑えるしかありません。

　以下は、分かりやすくするために、「ダブっていないのにダブっていると誤って判定する確率」をゼロとして計算します。
　２個がダブらなかったと仮定して、３個目の物色を開始します。これがダブらずに買える確率は、

　というわけで、３個目がダブらない確率は、４／５。先の10／11と掛け合わせると、約73％となります。
　以下、同様の計算をして、６個買った場合の確率を求めます。

　というわけで、６個まとめて買った場合、コンプリートする確率は７％です。デタラメに買った場合よりかなり確率がいいとはいえ、やはり最後の１個か２個の入手が困難であることが分かります。

　６種類中５種類まで揃った場合を考えてみます。残り１種類を入手するために、さらに何個か買ってみることにします。
　ここで問題なのは、先に買った分は、すでに家で箱を開けてしまっているので、店で音を比較するわけにはいかないということです。そこで、店に並んでいる分同士を比較して、音が違っているものを選んで買うことにします。
　当然、最初の１個が当たりである確率は１／６、つまり17％です。
　やはり、音が同じかどうか聞き分けられる確率を１／２として、とりあえず２個目を買い足してみると、

　青字で示された数字のうち、ａｂｃに当たりが含まれているのですから、確率は21／66＝32％ということになります。
　あれ？　デタラメに買った場合、２個のうち少なくとも１個が当たりである確率は１−（５／６）の２乗、つまり31％のはず……実はサーチしても確率はほとんど差がないんですね。
　さらに３個目を買い足すと、

　３個の中に最低１個の当たりが含まれる確率は、301／666=45％となります。やはりデタラメに３個買った場合の確率（42％）と大差ありません。サーチを用いても、最後の一個を見つけるのが難しいことが分かります。
　判定率が100％近ければ、６個買ってコンプリートできる確率も高くなるのですが、なかなかそんなのは難しい。しかも、音でサーチできるのは、種類が少ない場合にのみ可能なこと。全20種類ぐらいの食玩になると、音を聞き分けるのは至難の技と言えます。また、最近では、おもりを入れて重量を均等にしたり、パックで固定して揺れないようにしているものも多く、きわめてサーチしにくくなっています。やはり確率の問題になってしまうんですね。

出費を半額に抑えるには
　では、全２０種類の食玩をコンプリートする確率を考えてみましょう。

　コンプリートするための期待値は72個。150円の食玩なら１万800円……「食玩なんて安いもの」と思いがちですが、コンプリートしようとするとこんなにかかっちゃうんですね。
　特に最後の方の期待値の上昇に注目。最後の３種類を手に入れるための期待値は、計36.67個、つまり１万800円の約半分は最後の３種類のために費やされるのです。
「あとたった３種類でコンプリートなんだけどなあ」と思いながら買い続けると、まんまとワナにはまってしまうわけですね。
　さすがに１万円以上は使いすぎです。そこで出費を半額の5400円前後で抑えられる方法を考えてみます。

　まず「最後の4種類は必ずショップで買う」と、最初から決めます。ショップでは定価よりやや高い200円程度で売られていると仮定しますと、購入に必要な金額は4×200＝800円。ということは、4600円で16種類を手に入れられればいい、ということになります。
　4600円なら30個買えます。上の表を見てください。期待値からすると、30個買えば16種類は手に入るはずなのです。
　とはいうものの、期待値はあくまで期待値。30個買っても15個以下しか揃わない場合もあるでしょう。

　そこでまず、20個買ってみます。コンプリートできる可能性はほとんどないでしょうが、期待値からすると、これで13個ぐらい揃うはずです。
　予算はあと2400円。この時点で、まだ８種類しか揃っていないなら（そんな可能性はあまりないと思いますが）、買うのをやめてショップに行き、残り12種類を2400円で購入します。
　９種類以上揃っているなら、もう4個買ってみます。予算はあと1800円。この時点で11種類以下しか揃っていないなら、残りはショップで購入します。
　12種類以上揃っているなら、さらに4個買ってみます。予算はあと1200円。この時点で14種類以下しか揃っていないなら、残りはショップで購入します。
　15種類以上揃っているなら、さらに2個買います。予算はあと900円。ここまでで、何種類揃っていようが、買うのをやめます。
　この方法なら、5400円をせいぜい数百円しか上回らない出費で、コンプリートが可能です。

　表にまとめてみましょう。

　ついでに、１セット15種類の食玩の場合も考えてみましょう。15種類だとコンプリートのための期待値は約50、単価が250円なら、1万2500円かかることになります。
　ショップでの平均価格を300円とし、出費を半額の6250円で抑えようと思うなら、次のような買い方をおすすめします。

直感を信じるな
　お間違えなく。ここに示した戦略は、あくまでひとつの例にすぎず、理想的な購入方法ではありません。何が「理想的」かは、予算をどれぐらいに設定するか、ショップでの価格をどれぐらいに見積もるかによって変化します。
　ガチャポン・食玩で共通しているのは、運に頼ってコンプリートしようとすると、出費の約２／３は残り１／３を入手するために費やされるということです。15種類の食玩の場合、最初の10種類を入手するのに必要な期待値は15.5個ですが、残り５種類を入手するにはその２倍以上、34.3個も買わなくてはなりません。
「もう２／３揃ったぞ。あと１／３なんて楽勝じゃん」
　そう考えたくなるのは人間として当然ですが、確率論的には誤っているのです。あなたは残り１／３を手に入れるために、これまでの出費の倍額をさらに費やさなくてはならないのです。

　確率はしばしば人間の直感を裏切ります。自分の直感を信じないことと、ショップを有効に活用することが、余計な出費を抑えるコツと言えるでしょう。