ガミラスとイスカンダルの正しい天文学

　『空想科学読本４』第11章で、柳田氏は『宇宙戦艦ヤマト』に出てきたガミラスとイスカンダルの力学的関係について論じている。
　あの２つの星があまりにも近く描かれすぎているという点については、僕も同意する。あんなに近くては潮汐力の影響が大きすぎて、まともな環境は維持できまい。
　だからと言って、柳田氏の書いていることが正しいことにはならない。

またまた１桁間違いだ！

　柳田氏はこの章の中で、ガミラスとイスカンダルのデータを次のように仮定している。

●イスカンダルの質量は地球の１・７倍（１・０×1０の２５乗kg）
●ガミラスの質量はその５３％（５・４×10の２４乗kg）
●イスカンダルの直径は１６６００km（半径８・３×10の６乗ｍ）
●ガミラスの直径は１６０００km（半径８・０×10の６乗ｍ）
●公転周期は１７時間４０分
●ガミラス−イスカンダルの中心間の距離は４７０００km（４・７×10の７乗ｍ）

　ガミラスとイスカンダルは、互いの共通重心を中心として公転している。両者の質量をＭとｍとすると、惑星の重心から共通重心までの距離Ｌは

　　　ｍ
Ｌ＝―――・Ｒ
　　Ｍ＋ｍ

　であり、イスカンダルとガミラスの質量比は１：０・５３なので、Ｒ＝４７０００ｋｍなら、

・イスカンダルから共通重心までの距離は１６０００ｋｍ
・ガミラスから共通重心までの距離は３１０００km

　ということになる。以下、この数値が正しいものとして計算する。
　柳田氏の主張はこうである。

　互いの距離がこれほど近く、公転も速いとなると、潮の干満を起こす潮汐力が心配である。イスカンダルに働く潮汐力は、月が地球に及ぼすそれの５８００倍、ガミラスに加わる潮汐力は１万１０００倍！

　本当だろうか？　検算してみよう。
　潮汐力は影響を及ぼす側の天体の質量、および及ぼされる側の天体の直径に比例し、距離の３乗に反比例する。
　ガミラスの質量は月の７３倍、イスカンダルの直径は地球の１・３倍、両者の距離は地球−月間の０・１２倍なので、イスカンダルに働く潮汐力は

　７３×１・３÷（０・１２の３乗）　＝　５５０００

　つまり月が地球に及ぼす潮汐力の５万５０００倍。
　イスカンダルの質量は月の１４０倍、ガミラスの直径は地球の１・２５倍なので、ガミラスに働く潮汐力は

　１４０×１・２５÷（０・１２の３乗）　＝　１０００００

　つまり月が地球に及ぼす潮汐力の１０万倍。
　おおっ、なんじゃこりゃ、柳田氏の算出した数値より１０倍も大きいではないか！
　もっとも、これは惑星の半径ｒが距離Ｒに比べて充分に小さい場合の近似式。ガミラスとイスカンダルぐらい近いと、厳密式を当てはめなくてはならなくなる。
　計算してみると、イスカンダルの場合は５万６０００倍、ガミラスの場合は９万９０００倍という結果になり、近似式で求めた場合と大差なかった。
　どうして柳田氏は「５８００倍」「１万１０００倍」と書いたのだろうか？　潮汐力が重力のように距離の２乗に反比例すると思っているのか、どこかで計算を１桁間違えたのか……どちらにしても、誤差が説明できない。うーん、分からん！

もっともらしいけど無意味な数字

　さらに、この後の説明も間違いである。

　干潮と満潮は１日に２回ずつ起こり、海面の高さの変動幅は地域と時期によって変わるが、日本の太平洋沿岸では最大１・５ｍにも達する。これをもとにイスカンダルの干満差を求めてみると、実に１１０ｍ。30階建てのビルが完全に水没するほどの津波が１日２回、規則正しくこの愛の星を襲うのである！

　柳田氏はどこから「１１０ｍ」という数値を算出したのだろうか。下の脚注には「地球の干満との比較および波の性質から推算した」と、もっともらしいことが書いてある。
　でも、僕には、５８００の平方根に１・５を掛けただけのように見えるんですが……そんな安直な計算でいいの？　海の深さとか、イスカンダルの面積とか、海陸比とか、まったく考慮に入れなくていいの？

　一方、ガミラスにはより大きな潮汐力が働く。津波の高さは１５０ｍ！　それだけではなく、惑星の変形すら心配される。地球は毎日２回、直径にして50cmの伸縮を繰り返しているのだが、ガミラスの場合、その変動量は５・５km。直径がこれだけ変わると、地面は上下２・７５kmの幅で波打つことになる。つまり毎日２回、規則正しく大地震が訪れるのだ[図４]！

　１５０ｍ……やっぱり１万１０００の平方根に１・５掛けただけだ。
　さらに「変動量は５・５km」という部分も問題だ。こっちは50cmを１万１０００倍しただけである。地球とガミラスのサイズの違いとか、弾性率とかが、まったく考慮されている様子がない。
　なんか適当な数字を提示して読者を煙に巻いただけ、という気がするんだけど……気のせい？
　この本のあとがきで柳田氏は、「考え方の根拠や計算の過程を具体的に示した、科学の名を冠するにふさわしい本にしたかった」と述べているが、それならぜひ「１５０ｍ」「５・５km」の計算の根拠を具体的に示していただきたいものである（笑）。

「１日に２回」の干満は起こらない！

　さらに問題なのは、柳田氏がガミラスやイスカンダルに「毎日２回」干満が起きると書いていることだ。
　月は地球に同じ面を向けている。イオやガニメデなどの木星の衛星も、木星に同じ面を向けていることが判明している。強い潮汐力によって自転が固定されてしまったのだ。
　ガミラスの場合も、これだけイスカンダルに近ければ、潮汐力によって自転が固定され、イスカンダルに常に同じ面を向けていると考えられる。
　とすると、ガミラスの自転周期は公転周期と同じ。僕の計算では17時間だ（柳田氏は「17時間40分」と書いているが、まあこれぐらいは誤差の範囲だろう）。
　ガミラスとイスカンダルの公転軌道が完全な円だったとしよう。すると、確かにガミラスには、地球の10万倍もの潮汐力が作用する。しかし、その力は常に一定である。つまりイスカンダルに面した側（およびその反対側）では、海水は潮汐力によって盛り上ったまま。その高さは変化しない。「毎日２回」の干満など起こりようがないのである！
　もちろん天体の軌道が完全な円ということはありえない。ガミラスとイスカンダルの場合も、軌道はわずかに楕円だろう。仮に近地点と遠地点で距離が１％変化するとしても、潮汐力は３％、つまり地球に作用する月の潮汐力の３０００倍も変動する。だからガミラスにも潮の干満はやはりあるはずだ。
　しかし、その変動は公転周期と同じ、つまり１日に１回起きるのである。「毎日２回」は起きない。

ガミラスもイスカンダルもバラバラだ！

　百歩譲って、ガミラスの自転周期が公転周期と違っているとしても、やはり「毎日２回」の干満を起こすのは難しい。
　仮にガミラスの１日が地球と同じく24時間だとしよう。ガミラスが母星サンザーに対して１回転する間に、イスカンダルはガミラスの周囲を１・４回転する。つまりイスカンダルはガミラスの自転よりも早く、ガミラスの空を西から東へ移動している。だから、ある時刻にイスカンダルが真上にあったとすると、それから24時間経ってもイスカンダルは真上に戻って来ない。
　ガミラスが３回自転する間に、イスカンダルは４回転。これでようやくイスカンダルは頭上に戻ってくる。つまりガミラスの３日の間に、干満は２回しか起こらない。
　毎日２回の干満を起こす方法は２つ。ひとつは、ガミラスの自転周期を34時間にすることだ。ガミラスが半回転するとイスカンダルはガミラスの周囲を１周して、ガミラスの裏側に来る。ガミラスが１回自転すると、イスカンダルはガミラスの周囲を２周して、めでたく１日２回の干満が起きる。
　ところが柳田氏は１７１ページで、「対するガミラスの自転速度のほうは、いくつかの可能性が考えられるが、最長だと公転周期と同じ17時間40分」と書いている。ありゃりゃ、この方法はダメか。
　逆に自転を速くしてはどうだろう？　自転周期が17時間の半分、８時間半であれば、ガミラスが１回転する間にイスカンダルは半周して裏側に来るから、１日に１回の干満が起きる。自転速度がこれより速くなれば、たまに１日に２回の干満が起きる日がある。
　もっとも「毎日２回」とはいかない。本当に毎日２回の干満を起こしたければ、自転周期を８時間よりずっと短くしなくてはなるまい。
　地球の場合も、実は「毎日２回」の干満が起きているわけではない。地球の太陽に対する自転周期が24時間であるのに対し、月に対する自転周期は24時間50分。つまり「毎日２回」ではなく「24時間50分に２回」の干満が起きているのだ（24時間周期の太陽による潮汐作用もあるのだが、煩雑になるのでここでは無視する）。当然、たまに１回しか干満が起きない日もある。しかしまあ、ほぼ「毎日」と言ってもよいだろう。
　ガミラスの場合もこれと同じように考えるなら、自転周期は公転周期の１／29、35分程度でなくてはならないことになる。
　その場合、ガミラスの赤道付近での自転速度は、毎秒24km……えっ、これって脱出速度を上回ってる!?　自転による遠心力が表面重力の13倍にも達するのだ。こんなに速く自転したら、遠心力でバラバラになっちゃうぞ！
　いやいや、こんなことで驚いていてはいけない。柳田氏は画面から推測して、「イスカンダルの１日は３分18秒！」と述べているのだ。とすると赤道付近の秒速は２６０km。遠心力は重力の８３０倍！　うわっ、完全にバラバラ！【左図参照】
　柳田氏は「昼は１分39秒、夜も１分39秒。これに合わせて１日を送るとしたら、忙しくてたまらない」などと、イスカンダル星人の日常を想像して、のんきなツッコミを入れているが、こんな速さで自転したらイスカンダルそのものが存在しないということに気がついていない。

　結局、ガミラスもイスカンダルも（もちろん地球も）、そんなに速くは自転できないのである。柳田氏の言う通り「毎日２回」の干満を起こすには、34時間で自転させるのがベストだということだ。
　うーん、『ヤマト』の設定に合わせるのも疲れるけど、柳田氏の設定に合わせるのも疲れるなー（笑）。